1 +1 no es (siempre) 2 by John D. Barrow

autor:John D. Barrow [Barrow, John D.]
La lengua: spa
Format: epub
Tags: Divulgación, Ciencias exactas
editor: ePubLibre
publicado: 2020-10-27T00:00:00+00:00

que ordena las fracciones positivas de la misma manera que 1, 2, 3, 4…, de modo que mantienen una correspondencia de 1 a 1 con los números naturales. Ambos conjuntos son numerables, con cardinalidad alef sub cero. Adaptaciones sencillas amplían el resultado a todas las fracciones, incluso a las que valen cero o son negativas. Sin embargo, ya en 1874 Cantor había demostrado que otro conjunto de números relevantes, el de los números reales, tiene una cardinalidad diferente a la de los numerables. Su teorema tuvo unas consecuencias históricas, tanto más cuanto que con el paso de los años Cantor lo mejoró y descubrió, como ya se ha dicho, no uno, sino una infinidad de infinitos no numerables: abismos tan vertiginosos que dificultan una clasificación.

Cantor se puso a analizar lo que en matemáticas se conoce como números reales, que incluyen aquellos que no pueden expresarse como fracciones del estilo p/q. Esto abarca los números cuyo desarrollo decimal no tiene fin, como, por ejemplo, ciertas fracciones racionales (como 1/3 = 0.333 333 33…), pero también números famosos como π = 3.141 592 653 5… o el número e = 2.718 281 828 4…

A continuación, Cantor procedió a demostrar que el conjunto infinito de todos los números decimales que no terminan nunca no puede tener una cardinalidad numerable, no son contables, se trata de una cantidad mayor que ℵ0. Lo que hizo fue comprobar que toda la recta real tiene la misma cardinalidad que un segmento de ella, aunque sea pequeño, como el intervalo entre 0 y 1 (ambos excluidos). Quienes estén familiarizados con la trigonometría y con la gráfica de la función tangente podrán comprobarlo con facilidad. Así que esto basta para excluir que los números reales entre 0 y 1 se puedan ordenar con una correspondencia de uno a uno con los números naturales. Pero supongamos pese a todo que sí existiera tal correspondencia y que, por lo tanto, los números reales entre 0 y 1 se pudieran listar en paralelo con 0, 1, 2, 3… Recordemos que los números reales tienen una representación decimal, como, por ejemplo, 0.236 109 84…, y que esta representación es única excepto en casos como 0.240 000…= 0.239 999…: no entraremos a explicar el porqué, pero baste decir que la regla subyacente es que 0.999… es igual a 1. En cualquier caso, los números 0 y 9 pueden causar cierta confusión y son un signo de peligro.

Admitamos para simplificar que la lista resultante de números entre 0 y 1 es la siguiente. En realidad, no importa cómo se componga, porque el argumento se puede generalizar con facilidad para cualquier criterio que se adopte. Prestemos atención a los dígitos subrayados, que se desplazan hacia la derecha al bajar en la lista.

0 → 0.235 667 89…

1 → 0.575 603 66…

2 → 0.463 775 21…

3 → 0.846 213 40…

4 → 0.562 106 28…

5 → 0.466 732 30…

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